PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Pengertian sistem persamaan linier dua
variabel (SPLDV) Adalah persamaan yang memuat variabel-variabel yang
masing-masing berpangkat satu, tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi
trigonometri, fungsi eksponensial maupun fungsi logaritmik, dan tidak melibatkan
hasil kali variabel maupun akar variabel.
Menentukan
Himpunan Penyelesaian SPLDV denganGrafik, Substitusí, dan Eleminasi
Penyelesaian PLDV yang sudah kita bahas hanya terdiri satu persamaan saja.
Perhatikan dua persamaan linier berikut : x + y = 3 dan 2x – 3y = 1. Dari kedua
persamaan ini , kita harus menentukan pasangan pengganti x dan y , sehingga
mengubah kedua persamaan menjadi kalimat yang benar. Berarti pengganti x dan y
untukpersamaan x + y = 3, juga harusmemenuhipersamaan 2x – 3y = 1. Sehingga
hanya ada satu penyelesaian dari kedua persamaan tersebut yang merupakan pasangan
x dan y yang biasa ditulis dalam pasangan berurutan (x,y).
Contoh :Mari kita coba menentukan penyelesaian
dari sistem persamaan x + y = 3 dan2x – 3y =1Jawab :¨ Untuk x = 1 dan y = 2
atau ditulis (1,2) , maka:x + y =3 2 x – 3 y = 11 + 2 = 3 (Memenuhi) 2.1 – 3.2
= -4 (Tidak memenuhi)Karena untuk x = 1 dan y = 2 atau (1,2) tidak memenuhi
persamaan 2x – 3y = 1 ,maka (1,2) bukan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3
dan 2x - 3y = 1¨ Untuk x = 2 dan y = 1 atau (2,1) , maka :x + y = 3 2 x – 3 y =
12 + 1 = 3 (Memenuhi) 2.2 – 3.1 = 1 (Memenuhi)Karena untuk x = 2 dan y = 1 atau
(2,1) memenuhi kedua persamaanmaka (2,1)merupakan penyelesaian sistem persamaan
x + y = 3 dan 2x - 3y = 1 Pengertian himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Grafik untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan
cara grafik, langkahnya adalah sebagai berikut : I. Menggambar garis dari kedua
persamaan pada bidang cartesius II. Koordinat titik potong dari kedua garis
merupakan himpunan penyelesaian Catatan : Jika kedua garis tidak berpotongan
(sejajar) , maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian.
Berikut adalah contoh-contoh soal berikut
pembahasannya>>
SOAL - 1 Persamaan linear dua variabel yang
memenuhi grafik berikut adalah ... y 3 0 3/2 x
Pembahasan : Garis tersebut melalui ( 3/2, 0 )
dan ( 0,3), maka : y2 – y1 3 - 0 Gradien = m = ---------- = ---------- = - 2 x2
- x1 0 – 3/2 Persamaan garisnya : y – y1 = m ( x – x1 ) à melalui titik ( 0,3 ) y - 3 = -2 ( x – 0 ) y =
-2x + 3 atau 2x + y = 3
SOAL - 2 Himpunan penyelesaian dari persamaan x
– 3y = -7 dan 2x + 3y = 4 adalah ...
Pembahasan : x – 3y = -7 2x + 3y = 4 3x = -3 x
= -1 Subsitusikan nilai x = -1 x – 3y = -7à -1 - 3y = -7 - 3y = -7 + 1 y = 2 Jadi,
himpunan penyelesaiannya : {( -1, 2)}. Langsung eliminasi karena koefisien y
sudah sama.
SOAL - 3 Himpunan penyelesaian dari persamaan
3x – 2y = 7 dan 2x + y = 14 adalah {(a, b)}. Nilai a + b adalah ...
Pembahasan : 3x – 2y = 7 x 1 à 3x – 2y = 7 2x + y = 14 x 2 à 4x + 2y = 28 7x = 35 x = 5 Subsitusikan nilai
x = 5 : 3x – 2y = 7 3(5) - 2y = 7 à -2y = 7 - 15 y = 4 Jadi, himpunan
penyelesaiannya : {( 5,4)}
SOAL - 4 Himpunan penyelesaian dari persamaan
x/2 – y/3 = 1 dan x/2 + y/3 = 7 adalah ...
Pembahasan :
x/2 – y/3 = 1 x 6 à 3x - 2y = 6
x/2 + y/3 = 7 x 6 à 3x + 2y = 42
6x = - 48 x = 8 Subsitusikan nilai x = 12 x/2 – y/3 = 1à 8/2 – y/3 = 1 4 – y/3= 1à y/3= 3 y = 9 Jadi, himpunan penyelesiannya :
{( 8,9)}.
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Sistem
persamaan linear dua variabel, atau sering disingkat sebagai SPLDV, seringkali
digunakan untuk memecahkan permasalahan di sekitar kita. Sebelum kita
mempelajari SPLDV, sebaiknya kita kenal dulu persamaan linear dua variabel.
Perhatikan permasalahan berikut.
Anggita akan berencana membeli pensil dan
bolpoin di suatu toko alat tulis. Ia berencana akan membeli total sebanyak 5
buah alat tulis. Berapa banyaknya masing-masing pensil dan bolpoin yang mungkin
dibeli oleh Anggita?
Untuk mendaftar semua kemungkinannya, kita
dapat menggunakan tabel seperti berikut.
Permasalahan di atas dapat dituliskan dalam
bentuk persamaan sebagai berikut.
dengan p dan b secara
berturut-turut merupakan banyaknya pensil dan bolpoin yang akan dibeli oleh
Anggita.
Karena banyakanya pensil ditambah banyaknya
bolpoin adalah 5 buah, maka banyaknya pensil sama dengan 5 dikurangi banyaknya
bolpoin dan demikian juga banyaknya bolpoin sama dengan 5 dikurangi dengan
banyaknya pensil. Atau dengan kata lain, persamaan p + b = 5
dapat juga dituliskan menjadi bentuk persamaan berikut.
Berikut ini beberapa contoh bentuk persamaan
linear dua variabel lannya.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Setelah mengenal persamaan linear dua variabel,
selanjutnya kita lanjutkan pembahasan kita ke SPLDV. Perhatikan permasalahan
berikut.
Contoh dari system persamaan linier dua variable.
Pergi ke Kantin
Pada saat jam istirahat sekolah, Ana dan Andika bersama-sama pergi ke kantin sekolah. Ana membeli 3 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00. Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00. Berapakah harga masing-masing pisang goreng dan donat per buahnya?
Pada saat jam istirahat sekolah, Ana dan Andika bersama-sama pergi ke kantin sekolah. Ana membeli 3 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00. Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00. Berapakah harga masing-masing pisang goreng dan donat per buahnya?
Misalkan x dan y secara
berturut-turut merupakan harga satuan pisang goreng dan donat yang telah dibeli
di kantin sekolah tersebut. Karena Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat
dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00, maka kalimat tersebut dapat dimodelkan ke
dalam persamaan,
Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng
dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00, maka kalimat tersebut dapat
dituliskan ke dalam persamaan,
Persamaan-persamaan 3x + 2x =
3.500 dan 4x + 2y = 4.000 merupakan persamaan-persamaan yang
berhubungan, karena kedua persamaan tersebut memiliki 2 variabel yang sama.
Mudahnya, kedua persamaan tersebut dimodelkan dari transaksi Ana dan Andika
ketika mereka berdua membeli dua makanan yang sama di kantin yang juga sama.
Sehingga, transaksi yang dilakukan oleh Ana akan sesuai dengan transaksi yang
dilakukan oleh Andika. Artinya, transaksi mereka berdua dipengaruhi oleh harga
satuan pisang goreng dan donat pada kantin tersebut. Sehingga, kedua persamaan
3x + 2x = 3.500 dan 4x + 2y = 4.000 disebut sebagai
suatu sistem. Karena sistem tersebut terdiri dari persamaan-persamaan
linear dua variabel, maka sistem tersebut disebut sistem persamaan linear
dua variabel.
Sistem persamaan linear dua variabel tersebut
dapat dituliskan sebagai berikut.
Selanjutnya, dapatkah kita menentukan harga
masing-masing pisang goreng dan donat yang telah dibeli oleh Ana dan Andika?
Perhatikan bahwa banyaknya donat yang mereka beli adalah sama, yaitu 2 buah.
Sedangkan banyaknya pisang goreng yang dibeli oleh Ana lebih sedikit 1 buah
daripada yang dibeli oleh Andika. Karena Andika mengeluarkan uang Rp 4.000,00
untuk membeli semua makanan ringannya, sedangkan Ana mengeluarkan Rp 500,00
lebih sedikit daripada Andika, maka dengan mudah kita dapat menyimpulkan bahwa
harga pisang gorengnya adalah Rp 500,00 tiap buahnya.
Apabila harga pisang goreng tiap buahnya adalah
Rp 500,00, maka selanjutnya kita dapat menentukan harga 1 buah donat dengan
menggunakan transaksi Ana atau Andika. Kali ini kita akan menggunakan transaksi
Ana untuk menentukan harga 1 donat.
Sehingga diperoleh harga satu donat adalah Rp
1.000,00. Apakah jawaban ini benar? Untuk mengetahui kebenarannya, kita dapat
mengujinya ke dalam permasalahan.
Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat, maka
dia harus membayar 3 × 500 + 2 × 1.000 = 1.500 + 2.000 = 3.500. Untuk kasus
Ana, harga pisang goreng dan donat memenuhi. Selanjutnya kita uji juga ke dalam
kasusnya Andika. Andika membeli 4 pisang goreng dan 2 donat, maka dia harus
membayar 4 × 500 + 2 × 1.000 = 2.000 + 2.000 = 4.000. Harga satuan pisang
goreng dan donat yang telah kita cari ternyata memenuhi kedua persamaan yang
diberikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa x = 500 dan y = 1.000
merupakan selesaian dari SPLDV tersebut.
Catatan Selesaian dari SPLDV merupakan nilai dua
variabel yang memenuhi kedua persamaan yang terdapat dalam SPLDV tersebut.
Apabila nilai dua variabel tersebut hanya memenuhi salah satu persamaan saja,
atau bahkan tidak memenuhi keduanya, maka nilai variabel-variabel tersebut
bukanlah selesaian dari SPLDV tersebut.
Sebagai ilustrasi, x = 1.000 dan y
= 250 memenuhi persamaan 3x + 2y = 3.500. Akan tetapi nilai
tersebut tidak memenuhi persamaan kedua karena 4 × 1.000 + 2 × 250 = 4.500 ≠
4.000. Sehingga x = 1.000 dan y = 250 bukan selesaian dari SPLDV
yang terdiri dari persamaan-persamaan 3x + 2y = 3.500 dan 4x
+ 2y = 3.500. Semoga bermanfaat.
C. Cara-cara
penyelesain PLDV
Selain dengan menggunakan metode grafik dan substitusi,
permasalahan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) juga dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi. Dengan menggunakan metode
ini, kita harus mengeliminasi/menghilangkan salah satu variabel dengan cara
penjumlahan ataupun pengurangan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh
berikut.
Contoh:
Tentukan himpunan selesaian dari SPLDV yang memuat
persamaan-persamaan 2x + 5y = –3 dan 3x – 2y = 5.
Grafik dari kedua persamaan tersebut dapat
digambarkan sebagai berikut.
Untuk menentukan selesaiannya,
pertama kita harus mengeliminasi salah satu variabelnya. Misalkan kita akan
mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien x
dari kedua persamaan tersebut. Koefisien x pada persamaan 1 dan 2 secara
berturut-turut adalah 2 dan 3. Sehingga kita harus menyamakan koefisien x
dari kedua persamaan tersebut menjadi KPK dari 2 dan 3, yaitu 6, dengan
mengalikan persamaan 1 dengan 3 dan persamaan 2 dengan 2.
Dengan cara yang sama, kita
dapat mengeliminasi variabel y untuk mendapatkan nilai dari x.
Sehingga diperoleh selesaiannya adalah x = 1
dan y = –1, atau dapat dituliskan sebagai himpunan selesaian Hp = {(1,
–1)}.
Menyelesaikan SPLDV dengan Menggunakan Metode Campuran
Metode eliminasi juga dapat
dipadukan dengan metode substitusi dalam menyelesaikan suatu permasalahan
SPLDV. Perhatikan contoh berikut.
Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya
adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun.
Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang.
Misalkan umur ayah dan anak perempuannya secara
berturut-turut adalah m dan n, maka permasalahan di atas dapat
dimodelkan sebagai berikut.
Grafik dari persamaan-persamaan m – n
= 26 dan m + n = 44 dapat digambarkan seperti berikut.
Pertama, kita akan mengeliminasi variabel n
untuk mendapatkan nilai dari m dengan menjumlahkan persamaan 1 dengan
persamaan 2.
Selanjutnya kita substitusikan m = 35 ke
salah satu persamaan, misalkan ke persamaan 1. Sehingga diperoleh,
Jadi, umur ayah dan anak perempuannya saat ini
secara berturut-turut adalah 35 tahun dan 9 tahun. Semoga bermanfaat,
Sumber:
masya Allah keren postinganya dan insert keyframe
BalasHapus